Laplacian matrix

隣接行列\(A\)の次数\(A_i\)を対角成分にもつ次数行列\(D\)がある時
\(Laplacian（L） = D - A\)

性質として以下を持つ
- 行和・列和は０
- \(L\)は対称行列 - 固有値はすべて実数 - 固有ベクトルは互いに直行するように選ぶことができる - 直行行列を用いてつねに対角化可能 - 固有値0をもつ
- 固有値は非負
- 固有値0の多重数は、グラフの連結成分の数と等しい

Code 
library(igraph)
library(ggplot2)

# generate matrix
set.seed(1)
g = random.graph.game(5,p.or.m = 0.6)
E(g)$weight = runif(length(E(g)), 0, 10) |> as.integer()

A = as_adj(g, attr="weight") |> as.matrix()
D = matrix(0, 5, 5)
diag(D) = rowSums(A)
L = D-A
# rowSums(L)
# colSums(L)

対称行列\(L\)としての性質

  • 固有値はすべて実数

  • 固有ベクトルは互いに直行するように選ぶことができる

  • 直行行列を用いてつねに対角化可能